Turunan implisit

Implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.

Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx). Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y).

CONTOH 1

Tentukan $\frac{dy}{dx}$ dari $x{y}^2=x-8$.

Pembahasan

Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap $x$.$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(x{y}^2)& =\frac{d}{dx}(x-8)\end{array}$$

Karena $y$ merupakan suatu fungsi dalam $x$, maka $x{y}^2$ dapat dipandang sebagai perkalian dua buah fungsi, yang turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan perkalian. Misalkan $u=x$ dan $v=y^2$.$$\begin{array}{rl}u& =x⟹\frac{du}{dx}=1\\ v& =y^2⟹\frac{dv}{dx}=2y\cdot \frac{dy}{dx}\end{array}$$Sehingga$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(x{y}^2)& =u\cdot \frac{dv}{dx}+v\cdot \frac{du}{dx}\\ & =x\cdot 2y\cdot \frac{dy}{dx}+y^2\cdot 1\\ & =2xy\cdot \frac{dy}{dx}+y^2\end{array}$$

Dengan menentukan turunan dari suku lainnya, diperoleh

$$\begin{array}{rl}\frac{dx}{d}(x{y}^2)& \\ & =\frac{d}{dx}(x-8)\\ 2xy\cdot \frac{dy}{dx}+y^2& =1\\ 2xy\cdot \frac{dy}{dx}& =1-y^2\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1-y^2}{2xy}\end{array}$$

Diperoleh turunan pertama dari fungsi tersebut. Akan tetapi, apakah kita yakin dengan hasil yang diperoleh dengan turunan implisit? Agar lebih yakin, kita akan menentukan turunan sebuah fungsi dengan dua cara, kemudian membandingkan hasil yang diperoleh. Kita akan menggunakan fungsi implisit, yang pada awal pembahasan, turunannya dicari dengan mengubah fungsi tersebut ke dalam bentuk eksplisit. Fungsi tersebut adalah $4x^{2}y-xy=x^3+1$.

CONTOH 2

Tentukan $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ dari $4x^{2}y-xy=x^3+1$ dengan turunan implisit.

Pembahasan

Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap x. Agar proses pengerjaan menjadi lebih sederhana, kita akan menggunakan notasi $y^{\prime }$ untuk menggantikan $\frac{dy}{dx}$.$$\begin{array}{rl}(8xy+4x^2{y}^{\prime })-(y+x{y}^{\prime })& =3x^2\\ 8xy+4x^2{y}^{\prime }-y-x{y}^{\prime }& =3x^2\\ 4x^2{y}^{\prime }-x{y}^{\prime }& =3x^2-8xy+y\\ (4x^2-x)y^{\prime }& =3x^2-8xy+y\\ y^{\prime }& =\frac{3x^2-8xy+y}{4x^2-x}\end{array}$$

Akhirnya, kita peroleh hasil dengan turunan implisit. Jika dilihat secara sekilas, hasil ini berbeda dari hasil yang diperoleh sebelumnya. Namun coba perhatikan, ternyata hasil ini masih memuat variabel y, sedangkan hasil yang kita peroleh sebelumnya hanya memuat variabel x. Kita ketahui bahwa$$\begin{array}{rl}y& =\frac{4x^2-x}{x^3+1}\end{array}$$

Substitusi nilai y pada hasil yang diperoleh dengan turunan implisit.$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{3x^2-8xy+y}{4x^2-x}\\ & =\frac{3x^2-8x\left(\frac{x^3+1}{4x^2-x}\right)+\left(\frac{x^3+1}{4x^2-x}\right)}{4x^2-x}\\ & =\frac{\frac{3x^2(4x^2-x)}{4x^2-x}-\frac{8x(x^3+1)}{4x^2-x}+\frac{x^3+1}{4x^2-x}}{4x^2-x}\\ & =\frac{\frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4+8x)+(x^3+1)}{4x^2-x}}{4x^2-x}\\ & =\frac{\frac{4x^4-2x^3-8x+1}{4x^2-x}}{4x^2-x}\\ & =\frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x{)}^2}\end{array}$$

sumber :

https://www.kimiamath.com/post/turunan-fungsi-implisit