penerapan fungsi turunan dalam menentukan nilai maksimal dan minimum

 Maksimum dan Minimum

Definisi :

Andaikan S daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :

1. f( c ) adalah nilai maksimumf pada S jika f ( c ) f (x) untuk semua x di S.
2. f( c ) adalah nilai minimum pada S jika f( c ) f(x) untuk semua x di S.
3. f( c ) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia nilai maksimum atau nilai minimum

Teorema A

(Teorema eksitensi Maks-Min). jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f ( c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

1. Titik ujung
2. Titik stasioner dari f’(x) = 0
3. Titik Singuler dari f’(x) tidak ada

Contoh :

Carilah nilai maksimum dan minimum dari f (x)= 4x3+ 3x2 – 6x +1 pada [2,1]..

Penyelesaian :

F’(x) = 12x2+6x-6

Untuk f’(x) =0, maka:

12x2+6x-6 = 0

2x2+x-1 = 0… (di perkecil)

(2x2-1) (x+1)=0

X=1/2, x=-1

Kita dapatkan titik kritisnya yaitu : (-2, -1, ½, 1)

Sehingga :

F(-2) = -7

F(-1) = 6

F(1/2) = ¾

F(1) = 2

Jadi kita dapatkan:

Nilai maksimumnya pada f(-1) = 6

Nilai minimumnya pada f(-2) = -7

4.2 Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun ) kita katakana bahwa :

1. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I

x1 < x2  f (x1) < f (x2)

1. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I

x1 < x2  f (x1) > f (x2)

1. f monoton murni pada I jika ia naik atau turun pada I

Teorema A

(Teorema Kemonotonan).Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I:

1. Jika f’ (x) >0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I
2. Jika f’ (x) <0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I

Definisi :

Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I = (a, b). maka

jika f’ naik pada I, f ( dan grafiknya ) cekung ke   atas disana.

Jika f’ turun pada I,f cekung ke bawah pada I.

Teorema B

(Teorema Kecekungan). Andaikan f terdiferensial 2x pada selang terbuka (a, b)

1. Jika f” (x) >0 untuk semua x dalam (a, b), maka f cekung ke atas pada (a, b).
2. Jika f” (x) <0 untuk semua x dalam (a, b),maka f cekung ke bawah pada (a, b)

Contoh :

Jika f (x) = 2x3 + 9x2 -13. tentukanlah dimana f naik dan dimana f turun ?

Penyselesaian:

F’(x) = 6x2 + 18x = 6x (x +3)

Kita perlu menentukan dimana

x (x + 3) > 0 dan x (x+3) < 0

x= 0, x = -3 > 0 x=0, x=-3 <0

sumber : https://syaefulamin156.wordpress.com/2019/07/16/kalkulus-titik-kritis-turunan-fungsi/