Maksimum dan Minimum
Definisi :
Andaikan S daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :
- f( c ) adalah nilai maksimumf pada S jika f ( c ) f (x) untuk semua x di S.
- f( c ) adalah nilai minimum pada S jika f( c ) f(x) untuk semua x di S.
- f( c ) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia nilai maksimum atau nilai minimum
Teorema A
(Teorema eksitensi Maks-Min). jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum
Teorema B
(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f ( c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :
- Titik ujung
- Titik stasioner dari f’(x) = 0
- Titik Singuler dari f’(x) tidak ada
Contoh :
Carilah nilai maksimum dan minimum dari f (x)= 4x3+ 3x2 – 6x +1 pada [2,1]..
Penyelesaian :
F’(x) = 12x2+6x-6
Untuk f’(x) =0, maka:
12x2+6x-6 = 0
2x2+x-1 = 0… (di perkecil)
(2x2-1) (x+1)=0
X=1/2, x=-1
Kita dapatkan titik kritisnya yaitu : (-2, -1, ½, 1)
Sehingga :
F(-2) = -7
F(-1) = 6
F(1/2) = ¾
F(1) = 2
Jadi kita dapatkan:
Nilai maksimumnya pada f(-1) = 6
Nilai minimumnya pada f(-2) = -7
4.2 Kemonotonan dan Kecekungan
Definisi :
Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun ) kita katakana bahwa :
- f adalah naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I
x1 < x2 f (x1) < f (x2)
- f adalah turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I
x1 < x2 f (x1) > f (x2)
- f monoton murni pada I jika ia naik atau turun pada I
Teorema A
(Teorema Kemonotonan).Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I:
- Jika f’ (x) >0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I
- Jika f’ (x) <0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I
Definisi :
Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I = (a, b). maka
jika f’ naik pada I, f ( dan grafiknya ) cekung ke atas disana.
Jika f’ turun pada I,f cekung ke bawah pada I.
Teorema B
(Teorema Kecekungan). Andaikan f terdiferensial 2x pada selang terbuka (a, b)
- Jika f” (x) >0 untuk semua x dalam (a, b), maka f cekung ke atas pada (a, b).
- Jika f” (x) <0 untuk semua x dalam (a, b),maka f cekung ke bawah pada (a, b)
Contoh :
Jika f (x) = 2x3 + 9x2 -13. tentukanlah dimana f naik dan dimana f turun ?
Penyselesaian:
F’(x) = 6x2 + 18x = 6x (x +3)
Kita perlu menentukan dimana
x (x + 3) > 0 dan x (x+3) < 0
x= 0, x = -3 > 0 x=0, x=-3 <0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar