Titik Maksimum Minimum Belok

SYARAT :






CONTOH :

1. Titik belok dari fungsi y = x³ + 6x² + 9x + 7 adalah 

penyelesaian :

y = x³ + 6x² + 9x + 7
y' = 3x² + 12x + 9
y" = 6x + 12
Titik belok <=> y" = 0
6x + 12 = 0
<=> 6x = -12
<=> x = -12/6
<=> x = -2
Subtitusi nilai x = -2 ke fungsi y.
y = (-2)³ + 6(-2)² + 9(-2) + 7
   = -8 + 24 - 18 + 7
   = 5
Jadi, titik belok dari fungsi y adalah (-2,5)

2. 

sumber :

https://brainly.co.id/tugas/224548

https://slideplayer.info/slide/14279169/

bentuk limit tak tentu 0. ∞

Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :

Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh dalam integral tak tentu :

1.Bentuk tak tentu 0/0 :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk 0/0 :

2. Bentuk tak tentu  ∞/∞ :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk ∞/∞ :

3. Bentuk tak tentu 0.∞ :

 

Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :

sumber : https://syaefulamin156.wordpress.com/2019/07/16/kalkulus-bentuk-tak-tentu-limit-fungsi/

penerapan fungsi turunan dalam menentukan nilai maksimal dan minimum

 Maksimum dan Minimum

Definisi :

Andaikan S daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :

1. f( c ) adalah nilai maksimumf pada S jika f ( c ) f (x) untuk semua x di S.
2. f( c ) adalah nilai minimum pada S jika f( c ) f(x) untuk semua x di S.
3. f( c ) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia nilai maksimum atau nilai minimum

Teorema A

(Teorema eksitensi Maks-Min). jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f ( c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

1. Titik ujung
2. Titik stasioner dari f’(x) = 0
3. Titik Singuler dari f’(x) tidak ada

Contoh :

Carilah nilai maksimum dan minimum dari f (x)= 4x3+ 3x2 – 6x +1 pada [2,1]..

Penyelesaian :

F’(x) = 12x2+6x-6

Untuk f’(x) =0, maka:

12x2+6x-6 = 0

2x2+x-1 = 0… (di perkecil)

(2x2-1) (x+1)=0

X=1/2, x=-1

Kita dapatkan titik kritisnya yaitu : (-2, -1, ½, 1)

Sehingga :

F(-2) = -7

F(-1) = 6

F(1/2) = ¾

F(1) = 2

Jadi kita dapatkan:

Nilai maksimumnya pada f(-1) = 6

Nilai minimumnya pada f(-2) = -7

4.2 Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun ) kita katakana bahwa :

1. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I

x1 < x2  f (x1) < f (x2)

1. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I

x1 < x2  f (x1) > f (x2)

1. f monoton murni pada I jika ia naik atau turun pada I

Teorema A

(Teorema Kemonotonan).Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I:

1. Jika f’ (x) >0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I
2. Jika f’ (x) <0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I

Definisi :

Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I = (a, b). maka

jika f’ naik pada I, f ( dan grafiknya ) cekung ke   atas disana.

Jika f’ turun pada I,f cekung ke bawah pada I.

Teorema B

(Teorema Kecekungan). Andaikan f terdiferensial 2x pada selang terbuka (a, b)

1. Jika f” (x) >0 untuk semua x dalam (a, b), maka f cekung ke atas pada (a, b).
2. Jika f” (x) <0 untuk semua x dalam (a, b),maka f cekung ke bawah pada (a, b)

Contoh :

Jika f (x) = 2x3 + 9x2 -13. tentukanlah dimana f naik dan dimana f turun ?

Penyselesaian:

F’(x) = 6x2 + 18x = 6x (x +3)

Kita perlu menentukan dimana

x (x + 3) > 0 dan x (x+3) < 0

x= 0, x = -3 > 0 x=0, x=-3 <0

sumber : https://syaefulamin156.wordpress.com/2019/07/16/kalkulus-titik-kritis-turunan-fungsi/

Turunan implisit

Implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.

Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx). Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y).

CONTOH 1

Tentukan $\frac{dy}{dx}$ dari $x{y}^2=x-8$.

Pembahasan

Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap $x$.$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(x{y}^2)& =\frac{d}{dx}(x-8)\end{array}$$

Karena $y$ merupakan suatu fungsi dalam $x$, maka $x{y}^2$ dapat dipandang sebagai perkalian dua buah fungsi, yang turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan perkalian. Misalkan $u=x$ dan $v=y^2$.$$\begin{array}{rl}u& =x⟹\frac{du}{dx}=1\\ v& =y^2⟹\frac{dv}{dx}=2y\cdot \frac{dy}{dx}\end{array}$$Sehingga$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(x{y}^2)& =u\cdot \frac{dv}{dx}+v\cdot \frac{du}{dx}\\ & =x\cdot 2y\cdot \frac{dy}{dx}+y^2\cdot 1\\ & =2xy\cdot \frac{dy}{dx}+y^2\end{array}$$

Dengan menentukan turunan dari suku lainnya, diperoleh

$$\begin{array}{rl}\frac{dx}{d}(x{y}^2)& \\ & =\frac{d}{dx}(x-8)\\ 2xy\cdot \frac{dy}{dx}+y^2& =1\\ 2xy\cdot \frac{dy}{dx}& =1-y^2\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1-y^2}{2xy}\end{array}$$

Diperoleh turunan pertama dari fungsi tersebut. Akan tetapi, apakah kita yakin dengan hasil yang diperoleh dengan turunan implisit? Agar lebih yakin, kita akan menentukan turunan sebuah fungsi dengan dua cara, kemudian membandingkan hasil yang diperoleh. Kita akan menggunakan fungsi implisit, yang pada awal pembahasan, turunannya dicari dengan mengubah fungsi tersebut ke dalam bentuk eksplisit. Fungsi tersebut adalah $4x^{2}y-xy=x^3+1$.

CONTOH 2

Tentukan $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ dari $4x^{2}y-xy=x^3+1$ dengan turunan implisit.

Pembahasan

Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap x. Agar proses pengerjaan menjadi lebih sederhana, kita akan menggunakan notasi $y^{\prime }$ untuk menggantikan $\frac{dy}{dx}$.$$\begin{array}{rl}(8xy+4x^2{y}^{\prime })-(y+x{y}^{\prime })& =3x^2\\ 8xy+4x^2{y}^{\prime }-y-x{y}^{\prime }& =3x^2\\ 4x^2{y}^{\prime }-x{y}^{\prime }& =3x^2-8xy+y\\ (4x^2-x)y^{\prime }& =3x^2-8xy+y\\ y^{\prime }& =\frac{3x^2-8xy+y}{4x^2-x}\end{array}$$

Akhirnya, kita peroleh hasil dengan turunan implisit. Jika dilihat secara sekilas, hasil ini berbeda dari hasil yang diperoleh sebelumnya. Namun coba perhatikan, ternyata hasil ini masih memuat variabel y, sedangkan hasil yang kita peroleh sebelumnya hanya memuat variabel x. Kita ketahui bahwa$$\begin{array}{rl}y& =\frac{4x^2-x}{x^3+1}\end{array}$$

Substitusi nilai y pada hasil yang diperoleh dengan turunan implisit.$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{3x^2-8xy+y}{4x^2-x}\\ & =\frac{3x^2-8x\left(\frac{x^3+1}{4x^2-x}\right)+\left(\frac{x^3+1}{4x^2-x}\right)}{4x^2-x}\\ & =\frac{\frac{3x^2(4x^2-x)}{4x^2-x}-\frac{8x(x^3+1)}{4x^2-x}+\frac{x^3+1}{4x^2-x}}{4x^2-x}\\ & =\frac{\frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4+8x)+(x^3+1)}{4x^2-x}}{4x^2-x}\\ & =\frac{\frac{4x^4-2x^3-8x+1}{4x^2-x}}{4x^2-x}\\ & =\frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x{)}^2}\end{array}$$

sumber :

https://www.kimiamath.com/post/turunan-fungsi-implisit