Aturan L’Hôpital menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu, limit dari pembagian f(x)/g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan limit pembagian dari turunan-turunannya, yaitu
Untuk membuktikan teorema ini, digunakan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, seperti berikut.
TEOREMA NILAI RATA-RATA YANG DIPERLUASJika f dan g memiliki turunan pada interval terbuka (a, b) dan kontinu pada [a, b] sedemikian sehingga g’(x) ≠ 0 untuk setiap x di dalam (a, b), maka ada titik c di (a, b) sedemikian sehingga,
Bukti Kita dapat menganggap bahwa g(a) ≠ g(b), karena jika tidak, menurut Teorema Rolle, akan mengakibatkan g’(x) = 0 untuk suatu x di (a, b). Sekarang, didefinisikan h(x) sebagai berikut.
Maka
dan
dan dengan menggunakan Teorema Rolle, ada titik c di (a, b) sedemikian sehingga
yang menyebabkan bahwa,
Setelah membuktikan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, sekarang perhatikan Teorema L’Hôpital berikut.
ATURAN L’HÔPITALMisalkan f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki turunan pada interval terbuka (a, b) yang memuat c, kecual pada c itu sendiri. Anggap g(x) ≠ 0 untuk setiap x di (a, b), kecuali pada c itu sendiri. Jika limit dari f(x)/g(x) untuk x mendekati c menghasilkan bentuk tidak tentu 0/0, maka
apabila limit di ruas kanan ada (atau tak hingga). Hasil ini juga dapat diterapkan jika limit f(x)/g(x) untuk x mendekati c menghasilkan bentuk-bentuk tak tentu ∞/∞, (–∞)/∞, ∞/(–∞), dan (–∞)/(–∞).
Seperti yang telah disinggung sebelumnya, Aturan L’Hôpital tersebut akan dibuktikan dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas. Karena banyak kasus dalam aturan ini, maka pada pembahasan ini hanya akan dibuktikan untuk satu kasus saja. Untuk kasus yang lain diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Bukti Perhatikan satu kasus untuk,
Selanjutnya definisikan fungsi baru sebagai berikut.
Untuk setiap x, c < x < b, F dan G memiliki turunan pada (c, b] dan kontinu pada [c, b]. Sehingga, Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas dapat diterapkan untuk menyimpulkan bahwa ada bilangan z di (c, x) sedemikian sehingga
Akhirnya, dengan memisalkan x mendekati c dari kanan, x → c+, didapatkan z → c+karena c < z < x, dan
Catatan Kesalahan kadang-kadang dilakukan dengan menggunakan Aturan Turunan pada Pembagian f(x)/g(x) dalam menerapkan Aturan L’Hôpital ini. Pastikan bahwa aturan ini memuat f ’(x)/g’(x), bukan turunan dari f(x)/g(x). Selanjutnya perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh 1: Bentuk Tak Tentu 0/0
Tentukan nilai limit dari (e2x – 1)/x untuk x mendekati 0.
Pembahasan Karena dengan menggunakan substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0,
sehingga dapat diterapkan Aturan L’Hôpital, seperti yang ditunjukkan di bawah ini.
Contoh 2: Penerapan Aturan L’Hôpital Lebih dari Satu Kali
Tentukan limit x2/e–x untuk x mendekati negatif tak hingga.
Pembahasan Karena dengan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu ∞/∞, maka gunakan Aturan L’Hôpital.
Limit ini masih menghasilkan bentuk tak tentu (–∞)/(–∞), sehingga Aturan L’Hôpital dapat diterapkan kembali.
