blog: Fungsi kontinu

Diperhatikan grafik fungsi $f$ berikut ini.

Berdasarkan grafik fungsi $f$ di atas, diperoleh bahwa

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -3}f(x)$ ada tetapi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -3}f(x)\neq f(-3)$ .
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1}f(x)$ ada tetapi $f(-1)$ tidak terdefinisi.
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ ada tetapi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$ .
$f(1)$ ada tetapi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ tidak ada.

Dari contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Nilai limit ada tetapi nilai fungsi tidak ada (tidak terdefinisi), nilai fungsi ada tetapi nilai limit tidak ada, nilai limit dan nilai fungsi keduanya ada tetapi nilai limit tidak sama dengan nilai fungsi, nilai limit ada dan nilai fungsi keduanya ada serta nilai limit sama dengan nilai fungsi. Berdasarkan fenomena tersebut, berikut diberikan definisi fungsi kontinu.

Definisi 1. Fungsi $f$ dikatakan kontinu di $a\in D_{f}$ jika $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=f(a).$

Definisi di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi $f$ kontinu di $a$ , yaitu:

$f(a)$ ada atau terdefinisikan,
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)$ ada, dan
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=f(a)$ .

Secara grafik, fungsi $f$ kontinu di $x=a$ jika grafik fungsi $f$ pada suatu intreval yang memuat $a$ tidak terpotong di titik $(a,f(a))$ . Jika $f$ tidak kontinu di a maka dikatakan $f$ diskontinu di $a$ .

Untuk memahami definisi fungsi kontinu, diperhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh 2.

Fungsi $f$ dengan rumus $f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}+4x-5}{x^{2}-1}$ diskontinu di $x=1$ karena $f(1)$ tidak terdefinisi.
Fungsi $g$ dengan rumus $g(x)=\begin{cases} 2x-1,& x<1\\ x+1,& x\geq 1 \end{cases}$ diskontinu di $x=1$ karena $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}g(x)$ tidak ada ( $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=1$ dan $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=2$ ).
Fungsi $h$ dengan rumus $h(x)=\begin{cases} 2x+1, & x<2\\ 3,& x=2\\ 3x-1,& x>2 \end{cases}$ diskontinu di $x=2$ karena $h(2)=3$ tetapi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}h(x)=5$
$\left(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}h(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}(2x+1)=5~\text{dan}~\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}h(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(3x-1)=5\right)$

Namun demikian, fungsi $h$ kontinu di $x=1$ karena $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}h(x)=3=h(1)$ .