blog: Mei 2020

Senin, 04 Mei 2020

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan ialah kalimat terbuka yang mneggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan mengandung variakel. Secara umum pertidaksamaan merupakan cara untuk menyatakan suatu selang atau interval. Tanda “<” dan “>” menyatakan selang terbuka dan pada garis bilangan digambarkan dengan noktah kosong( ).

Rumus Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x ialah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan. Dan digambarkan dengan │x│. Secara formal nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut :

Sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak

contoh soal

Nilai-nilai

x

yang memenuhi pertidaksamaan

| x - 1 | < 2

adalah

Diketahui

| x - 1 | < 2

.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh

\begin{array}{rcccl} | x - 1 | & < & 2 \\ - 2 & < & x - 1 & < & 2 \\ - 2 + 1 & < & x & < & 2 + 1 \\ - 1 & < & x & < & 3 \end{array}

Jadi, nilai-nilai

x

yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah

-1 < x < 3

sumber : https://www.dosenpendidikan.co.id/pertidaksamaan-nilai-mutlak/

https://rumusrumus.com/contoh-soal-pertidaksamaan-nilai-mutlak/

- 1 < x < 3

- 1 < x < 3

Limit fungsi

Limit fungsi adalah perilaku suatu fungsi mendekati suatu nilai tertentu. Jika suatufungsi memetakan hasil f(x) untuk setiap nilai x, maka fungsi tersebut memiliki limitdimana x mendekati suatu nilai untuk f(x).

Sifat Limit Fungsi

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka berlaku teorema-teorema berikut.

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}k=k\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}x=c\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}kf(x)=k\lim_{x\rightarrow c}f(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)+ \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)-g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)- \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)\times g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x) \times \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow c}{}f(x)}{\lim_{x\rightarrow c}g(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}g(x) \neq 0 \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}[f(x)]^n=[\lim_{x\rightarrow c}f(x)]^n \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\sqrt[n]{f(x)}= \sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow c}f(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}f(x) \geq 0 \end{align*}$

Mencari Nilai Limit

Metode substitusi

Metode ini dilakukan dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x).

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{2}x+4 &=\frac{1}{2} \times 2+4\\ &=1 + 4\\ &=5 \end{align*}$

Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

$\infty,\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty,\infty-\infty, 0^{0},\infty^0, atau \infty^\infty$

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-9}{x-3}&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}(x+3)\\ &=2+3\\ &=5 \end{align*}$

Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-7}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-7}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}+\sqrt{7}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-7)(\sqrt{x}+\sqrt{7})}{x-7}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}(\sqrt{x}+\sqrt{7})\\ &=\sqrt{7}+\sqrt{7}\\ &=2\sqrt{7} \end{align*}$

sumber : https://www.zenius.net/blog/22841/pembahasan-limit-fungsi-beserta-limit-menuju-tak-hingga

Minggu, 03 Mei 2020

Fungsi kontinu

Diperhatikan grafik fungsi $f$ berikut ini.

Berdasarkan grafik fungsi $f$ di atas, diperoleh bahwa

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -3}f(x)$ ada tetapi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -3}f(x)\neq f(-3)$ .
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1}f(x)$ ada tetapi $f(-1)$ tidak terdefinisi.
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ ada tetapi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$ .
$f(1)$ ada tetapi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ tidak ada.

Dari contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Nilai limit ada tetapi nilai fungsi tidak ada (tidak terdefinisi), nilai fungsi ada tetapi nilai limit tidak ada, nilai limit dan nilai fungsi keduanya ada tetapi nilai limit tidak sama dengan nilai fungsi, nilai limit ada dan nilai fungsi keduanya ada serta nilai limit sama dengan nilai fungsi. Berdasarkan fenomena tersebut, berikut diberikan definisi fungsi kontinu.

Definisi 1. Fungsi $f$ dikatakan kontinu di $a\in D_{f}$ jika $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=f(a).$

Definisi di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi $f$ kontinu di $a$ , yaitu:

$f(a)$ ada atau terdefinisikan,
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)$ ada, dan
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=f(a)$ .

Secara grafik, fungsi $f$ kontinu di $x=a$ jika grafik fungsi $f$ pada suatu intreval yang memuat $a$ tidak terpotong di titik $(a,f(a))$ . Jika $f$ tidak kontinu di a maka dikatakan $f$ diskontinu di $a$ .

Untuk memahami definisi fungsi kontinu, diperhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh 2.

Fungsi $f$ dengan rumus $f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}+4x-5}{x^{2}-1}$ diskontinu di $x=1$ karena $f(1)$ tidak terdefinisi.
Fungsi $g$ dengan rumus $g(x)=\begin{cases} 2x-1,& x<1\\ x+1,& x\geq 1 \end{cases}$ diskontinu di $x=1$ karena $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}g(x)$ tidak ada ( $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=1$ dan $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=2$ ).
Fungsi $h$ dengan rumus $h(x)=\begin{cases} 2x+1, & x<2\\ 3,& x=2\\ 3x-1,& x>2 \end{cases}$ diskontinu di $x=2$ karena $h(2)=3$ tetapi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}h(x)=5$
$\left(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}h(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}(2x+1)=5~\text{dan}~\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}h(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(3x-1)=5\right)$

Namun demikian, fungsi $h$ kontinu di $x=1$ karena $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}h(x)=3=h(1)$ .

◼

Selanjutnya, fungsi $f$ dikatakan kontinu pada interval $I$ jika $f$ kontinu di setiap titik anggota $I$ .

sumber : https://kalkulus.mipa.ugm.ac.id/single/definisi-fungsi-kontinu-satu-peubah/