Turunan L'hopital

Aturan L’Hôpital menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu, limit dari pembagian f(x)/g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan limit pembagian dari turunan-turunannya, yaitu

Untuk membuktikan teorema ini, digunakan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, seperti berikut.

TEOREMA NILAI RATA-RATA YANG DIPERLUASJika f dan g memiliki turunan pada interval terbuka (a, b) dan kontinu pada [a, b] sedemikian sehingga g’(x) ≠ 0 untuk setiap x di dalam (a, b), maka ada titik c di (a, b) sedemikian sehingga,

Bukti Kita dapat menganggap bahwa g(a) ≠ g(b), karena jika tidak, menurut Teorema Rolle, akan mengakibatkan g’(x) = 0 untuk suatu x di (a, b). Sekarang, didefinisikan h(x) sebagai berikut.

Maka

dan

dan dengan menggunakan Teorema Rolle, ada titik c di (a, b) sedemikian sehingga

yang menyebabkan bahwa,

Setelah membuktikan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, sekarang perhatikan Teorema L’Hôpital berikut.

ATURAN L’HÔPITALMisalkan f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki turunan pada interval terbuka (a, b) yang memuat c, kecual pada c itu sendiri. Anggap g(x) ≠ 0 untuk setiap x di (a, b), kecuali pada c itu sendiri. Jika limit dari f(x)/g(x) untuk x mendekati c menghasilkan bentuk tidak tentu 0/0, maka

apabila limit di ruas kanan ada (atau tak hingga). Hasil ini juga dapat diterapkan jika limit f(x)/g(x) untuk x mendekati c menghasilkan bentuk-bentuk tak tentu ∞/∞, (–∞)/∞, ∞/(–∞), dan (–∞)/(–∞).

Seperti yang telah disinggung sebelumnya, Aturan L’Hôpital tersebut akan dibuktikan dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas. Karena banyak kasus dalam aturan ini, maka pada pembahasan ini hanya akan dibuktikan untuk satu kasus saja. Untuk kasus yang lain diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Bukti Perhatikan satu kasus untuk,

Selanjutnya definisikan fungsi baru sebagai berikut.

Untuk setiap x, c < x < b, F dan G memiliki turunan pada (c, b] dan kontinu pada [c, b]. Sehingga, Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas dapat diterapkan untuk menyimpulkan bahwa ada bilangan z di (c, x) sedemikian sehingga

Akhirnya, dengan memisalkan x mendekati c dari kanan, x → c+, didapatkan z → c+karena c < z < x, dan

Catatan Kesalahan kadang-kadang dilakukan dengan menggunakan Aturan Turunan pada Pembagian f(x)/g(x) dalam menerapkan Aturan L’Hôpital ini. Pastikan bahwa aturan ini memuat f ’(x)/g’(x), bukan turunan dari f(x)/g(x). Selanjutnya perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1: Bentuk Tak Tentu 0/0

Tentukan nilai limit dari (e2x – 1)/x untuk x mendekati 0.

Pembahasan Karena dengan menggunakan substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0,

sehingga dapat diterapkan Aturan L’Hôpital, seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

Contoh 2: Penerapan Aturan L’Hôpital Lebih dari Satu Kali

Tentukan limit x2/e–x untuk x mendekati negatif tak hingga.

Pembahasan Karena dengan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu ∞/∞, maka gunakan Aturan L’Hôpital.

Limit ini masih menghasilkan bentuk tak tentu (–∞)/(–∞), sehingga Aturan L’Hôpital dapat diterapkan kembali.

sumber : https://yos3prens.wordpress.com/2013/09/12/aturan-lhopital/

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan ialah kalimat terbuka yang mneggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan mengandung variakel. Secara umum pertidaksamaan merupakan cara untuk menyatakan suatu selang atau interval. Tanda “<” dan “>” menyatakan selang terbuka dan pada garis bilangan digambarkan dengan noktah kosong( ).

Rumus Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x ialah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan. Dan digambarkan dengan │x│. Secara formal nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut :

Sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak 

contoh soal 

Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-1|<2$ adalah

Diketahui $|x-1|<2$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{ccccc}& & |x-1|& <& 2\\ -2& <& x-1& <& 2\\ -2+1& <& x& <& 2+1\\ -1& <& x& <& 3\end{array}$
Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah 

-1 < x < 3

sumber : https://www.dosenpendidikan.co.id/pertidaksamaan-nilai-mutlak/

https://rumusrumus.com/contoh-soal-pertidaksamaan-nilai-mutlak/

$\boxed{{\displaystyle -1<x<3}}$

p

Limit fungsi

Limit fungsi adalah perilaku suatu fungsi mendekati suatu nilai tertentu. Jika suatufungsi memetakan hasil f(x) untuk setiap nilai x, maka fungsi tersebut memiliki limitdimana x mendekati suatu nilai untuk f(x).

Sifat Limit Fungsi

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka berlaku teorema-teorema berikut.

Mencari Nilai Limit

• Metode substitusi

Metode ini dilakukan dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x).

Contoh Soal:

• Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

• Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

sumber : https://www.zenius.net/blog/22841/pembahasan-limit-fungsi-beserta-limit-menuju-tak-hingga