blog: September 2019

Determinan Matriks

determinan adalah sebuah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matrikspersegi

Determinan Matriks A ditulis dengan sebuah tanda, det(A), $det A$ , atau |A|

Determinan Matriks Ordo 2 x 2

matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah.

   $\textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

Nilai determinan A disimbolkan dengan $\left| A \right|$ , cara menghitung nilai determinan A dapat dilihat seperti pada cara di bawah.

   $det(A) \; = \; \left| A \right| = ad - bc$

Contoh Soal:

Tentukan nilai determinan matriks

   $A \; = \; \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$

Pembahasan:

   $\left| A \right| = ad - bc = 3 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 15 - 2 = 13$

Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Matriks Ordo 3 adalah matriks bujur sangkar dengan banyaknya kolom dan baris sama dengan tiga. Bentuk umum matriks ordo 3 adalah sebagai berikut.

   $\textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$

Sarrus

Contoh perhitungan determinan pada matriks ordo 3:

   $\textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

Maka,

   $\left| \textrm{A} \right| \; = \; \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right|$

   $\left| \textrm{A} \right| \; = 1\cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 2$

   $\left| \textrm{A} \right| \; = 6 + 4 + 3 - 6 - 1 - 12$

   $\left| \textrm{A} \right| \; = -6$

Kofaktor

Kofaktor merupakan salah satu langkah yang biasanya kita lakukan dalam mencari invers suatu matriks. Dan ini memiliki kelebihan dibandingkan dengan mencari determinan matriks dengan metode sarrus.jika pada metode sarrus, kita hanya bisa mencari determinan suatu matriks sampai pada ordo 3 x 3.

Minor

Minor matriks adalah determinan matriks bagian dari matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen pada baris tertentu dan elemen pada kolom tertentu.
cara mencari determinan dari elemen-elemen matrix yang tidak terkena oleh garis orange. Dan untuk letak tiap minornya adalah bergantung pada elemen yang menjadi titik pertemuan antara orange.

Sifat-Sifat Determinan Matriks

Jika matriks A sembarang yang semua elemen dalam salah satu baris atau kolomnya adalah nol, maka determinan A = 0.

Contoh matriks 2×2

Baris	Kolom
$\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 0& 0\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|A\right\|=3.0-(-1.0)=0$	$\\ \vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 0 &-1\\ 0& 4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|B\right\|=0.4-(-1.0)=0$

Contoh matriks 3×3

Baris	Kolom
$\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 0& 0&0\\4 &-3&1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|C\right\|=3.0.1+(-1).0.4+2.0.(-3)\\-(2.0.4+3.0.(-3)+(-1).0.1)=0$	$\vspace{1pc}D= \begin{bmatrix} 3 &-1 &0\\ 5& 2&0\\4 &-3&0\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|D\right\|=3.2.0+(-1).0.4+0.5.(-3)\\-(0.2.4+3.0.(-3)+(-1).5.0)=0$

Jika matriks A sembarang adalah matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks diagonal, maka determinan A = hasil kali elemen diagonal utama.

Contoh matriks 2×2

Segitiga Atas	Segitiga Bawah
$\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 0& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|A\right\|=3\times2=6$	$\\ \vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &0\\ 4& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|B\right\|=3\times2=6$

Diagonal

$\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} 3 &0\\ 0& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|C\right|=3\times2=6$

Contoh matriks 3×3

Segitiga Atas	Segitiga Bawah
$\vspace{1pc}D= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 0& 2&6\\0 &0&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|D\right\|=3\times2\times4=24$	$\vspace{1pc}E= \begin{bmatrix} 3 &0 &0\\ 5& 2&0\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|E\right\|= 3\times2\times4=24$

Diagonal

$\vspace{1pc}F= \begin{bmatrix} 3 &0 &0\\ 0& 2&0\\0&0&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|F\right|= 3\times2\times4=24$

Jika matriks A’ adalah matriks yang diperoleh dari matriks A setelah salah satu baris/kolomnya dikalikan dengan konstanta k, maka determinan A’ = k x Det A.

Contoh matriks 2×2

Matriks A

$\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.2-(-1).5=11$

A' (Baris)	A'(kolom)
$\vspace{1pc}k=3\\ \vspace{1pc}Baris\;ke-1\\ \vspace{1pc}Rumus=3R1\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} 9 &-3\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|A'\right\|=9.2-(-3).5=33\\ \vspace{1pc}atau\\A'= k\times\left\|A\right\|=3\times11=33$	$\vspace{1pc}k=3\\ \vspace{1pc}Kolom\;ke-2\\ \vspace{1pc}Rumus=3C2\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} 3 &-3\\ 5& 6\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|A'\right\|=3.6-(-3).5=33\\ \vspace{1pc}atau\\A'= k\times\left\|A\right\|=3\times11=33$

Contoh matriks 3×3

Matriks B

$\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58$

B'(Baris)

$\vspace{1pc}k=2\\ \vspace{1pc}Baris\;ke-3\\ \vspace{1pc}Rumus=2R3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\2 &-6&8\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.2.8+(-1).6.2+2.5.(-6)\\ \vspace{1pc}-(2.2.2+3.6.(-6)+(-1).5.8)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=48-12-60-(8-108-40)=116$

B'(kolom)

$\vspace{1pc}k=2\\ \vspace{1pc}Kolom\;ke-2\\ \vspace{1pc}Rumus=2C2\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-2 &2\\ 5& 4&6\\1 &-6&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.4.4+(-2).6.1+2.5.(-6)\\ \vspace{1pc}-(2.4.1+3.6.(-6)+(-2).5.8)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=48-12-60-(8-108-40)=116$

Jika matriks A’ dihasilkan dari matriks A setelah dua baris/kolomnya ditukarkan, maka determinan A’ = – det A.

Contoh matriks 2×2

Matriks A

$\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.2-(-1).5=11$

Tujar Baris	Tukar Kolom
$\vspace{1pc}Rumus=R1\Leftrightarrow R2\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} 5 &2\\ 3& -1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|A'\right\|=5.(-1)-2.3=-11\\ \vspace{1pc}atau\\ \left\|A'\right\|= -\left\|A\right\|=-(11)=-11$	$\vspace{1pc}Rumus=C1\Leftrightarrow C2\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} -1 &3\\ 2& 5\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|A'\right\|=(-1).5-3.2=-11\\ \vspace{1pc}atau\\ \left\|A'\right\|= -\left\|A\right\|=-(11)=-11$

Contoh matriks 3×3

Matriks B

Tukar Baris

$\vspace{1pc}Rumus=R1\Leftrightarrow R3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 1 &-3&4\\ 5& 2&6\\3 &-1 &2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=1.2.2+(-3).6.3+4.5.(-1)\\ \vspace{1pc}-(4.2.3+1.6.(-1)+(-3).5.2)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=4-54-20-(24-6-30)=-58\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-\left|B\right|=-58$

Tukar kolom

$\vspace{1pc}Rumus=C2\Leftrightarrow C3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &2 &-1\\ 5& 6&2\\1 &4&-3\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=(-3).6.3+2.2.1++(-1).5.4\\ \vspace{1pc}-((-1).6.1+3.2.4+2.5.(-3))\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-54+4-20-(-6+24-30)=-58\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-\left|B\right|=-58$

Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A setelah salah satu baris/kolomnya dikalikan dengan konstanta kemudian dijumlahkan/dikurangkan terhadap baris/kolom yang lainnya, maka determinan A’ = determinan A.

Matriks A

$\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.2-(-1).5=11$

Baris	Kolom
$\vspace{1pc}R1+2R2\mapsto R1\\ \vspace{1pc}A'= \begin{bmatrix} 13 &3\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|A'\right\|=13.2-3.5=11$	$\vspace{1pc}C2-\frac{1}{3}C1\mapsto C2\\ \vspace{1pc}A'= \begin{bmatrix} 3 &-2\\ 5& \frac{1}{3}\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|A'\right\|=3.\frac{1}{3}-(-2).5=11$

Contoh matriks 3×3

Matriks B

Baris

$\vspace{1pc}R2-\frac{1}{3}R1\mapsto R2\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 0& \frac{11}{3}&\frac{8}{3}\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.\frac{11}{3}.4+(-1).\frac{8}{3}.1+2.0.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.\frac{11}{3}.1+3.\frac{8}{3}.(-3)+(-1).0.4)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=44+0-\frac{8}{3}-(\frac{22}{3}-24+0)=58$

Kolom

$\vspace{1pc}C1+2C3\mapsto C1\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=7.2.4+(-1).6.9+2.17.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.9+7.6.(-3)+(-1).17.4)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=56-54-102-(36-126-68)=58$

Jika sebuah matriks mempunyai dua baris yang elemen-elemennya sebanding, maka determinannya adalah nol.

Dua Baris Sama

$\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 3& -1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.(-1)-(-1).3=0$

Baris Sebanding	Kolom Sebanding
$\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ -3& 1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|B\right\|=3.(-1)-(-3).1=0$	$\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 6& -2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|C\right\|=3.(-2)-(-1).6=0$

Contoh matriks 3×3

Dua Baris Sama

$\vspace{1pc}R1=R3\\ \vspace{1pc}D=\begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\3 &-1 &2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|D\right|= 3.2.2+(-1).6.3+2.5.(-1)\\ \vspace{1pc}-(2.2.3+3.6.(-1)+(-1).5.2)\\ \vspace{1pc}\left|D\right|=12-18-10-(12-18-10)=0$

Baris Sebanding

$\vspace{1pc}R2\;sebanding\;R3\\ \vspace{1pc}E= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 2& -6&8\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|E\right|=3.(-6).4+(-1).8.1+2.2.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.(-6).1+3.8.(-3)+(-1).2.4)\\ \vspace{1pc}\left|E\right|=-72-8-12-(-12-72-8)=0$

Kolom Sebanding

$\vspace{1pc}C1\;sebanding\;C2\\ \vspace{1pc}F= \begin{bmatrix} 2 &-1 &2\\ -4& 2&6\\6 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|F\right|=2.2.4+(-1).6.6+2.(-4).(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.6+2.6.(-3)+(-1).(-4).4)\\ \vspace{1pc}\left|F\right|=16-36+24-(24-36+16)=0$

Suatu matriks nilai determinannya tidak akan berubah jika barisnya dijadikan kolom.Dengan kata lain determinan matriks asal sama dengan determinan matriks hasil transpose.

Contoh matriks 2×2

Matriks A	Transpose A
$\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|A\right\|=3.2-(-1).5=11$	$\vspace{1pc}A^T= \begin{bmatrix} 3 &5\\ -1& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left\|A^T\right\|=3.2-5.(-1)=11$

Contoh matriks 3×3

Matriks B

Baris Sebanding

$\vspace{1pc}B^T= \begin{bmatrix} 3 &5 &1\\ -1& 2&-3\\2 &6&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B^T\right|= 3.2.4+5.(-3).2+1.(-1).6\\ \vspace{1pc}-(1.2.2+3.(-3).6+5.(-1).4)\\ \vspace{1pc}\left|B^T\right|=24-30-6-(4-54-20)=58$

blog

Jumat, 20 September 2019

DETERMINAN

Determinan Matriks

determinan adalah sebuah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matrikspersegi

Determinan Matriks A ditulis dengan sebuah tanda, det(A), $det A$ , atau |A|

Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Arsip Blog

Jumat, 20 September 2019

DETERMINAN

Determinan Matriks determinan adalah sebuah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matrikspersegi Determinan Matriks A ditulis dengan sebuah tanda, det(A), det A, atau |A|

Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Determinan Matriks

determinan adalah sebuah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matrikspersegi

Determinan Matriks A ditulis dengan sebuah tanda, det(A), $det A$ , atau |A|